--- a/bayesian_networks/term_paper.tex	Sun Feb 10 14:22:07 2013 +0100
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 \subsection{Aufbau}
 Bayesnetze stellen Abhängigkeiten in Form von gerichteten Graphen dar. Dabei sind Zufallsvariablen verbunden mit einer Kante genau dann, wenn sie sich direkt beeinflussen. Diese Darstellung führ zu einer vollständigen aber in vielen Fällen sehr kompakten Darstellung von beliebigen Zufallsvariablen. \cite{Russel} definiert Bayesnetze anhand von drei Regeln.
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 \begin{definition}[Bayesnetz]
     Ein Bayesnetz ist ein gerichteter azyklischer Graph, ein \emph{DAG}.
     \begin{enumerate}
@@ -227,7 +228,68 @@
         \item Jeder Knoten $X_i$ besitzt eine \emph{bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung} $\Pr[X_i \mid \mathsf{Parents}(X_i)]$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
-Im Folgenden soll gezeigt werden, dass diese Darstellung ausreichend ist, einträge in der gemeinsamen Verteilung zu ermitteln und damit die Zufallsvariable vollständig zu beschreiben.
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+Im Folgenden soll gezeigt werden, dass diese Darstellung ausreichend ist, Einträge in der gemeinsamen Verteilung zu ermitteln und damit die Zufallsvariable vollständig zu beschreiben.
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+\begin{example}[Erweiterte Nachmittagsplanung]
+    Der Student möchte das Haus nicht verlassen müssen, wenn es regnet. Deshalb halbiere er bei Regen die Wahrscheinlichkeit für Aktivitäten außer Haus. Wenn er weder Sport macht noch lernt bekommt er ein schlechtes Gewissen. Nach seinem Würfelergebnis möchte er wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, am Abend schlecht gelaunt zu sein.
+\end{example}
+
+\begin{figure}[t]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \node [net node] (sport) {Sport};
+        \node [net node] (kaufen) [left of = sport] {Kaufen};
+        \node [net node] (lernen) [right of = sport] {Lernen};
+
+        \node [net node] (gewissen) at ($0.5*(sport.center) + 0.5*(lernen.center) - (0,\netvspace)$) {Gewissen};
+        \node [net node] (regen) at ($0.5*(sport.center) + 0.5*(kaufen.center) + (0,\netvspace)$) {Regen};
+
+        \foreach \src/\dest in {regen/kaufen, regen/sport, sport/gewissen, lernen/gewissen}
+        \path [edge] (\src) -- (\dest);
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+        \node [net cpt] at ($(regen.center)-(5.5em,0)$)
+        {\begin{tabu}{c}
+            $\Pr[R]$ \\     \tabucline{-}
+            $0.1$ \\
+        \end{tabu}};
+
+        \node [net cpt] at ($(lernen.center)+(0,3em)$)
+        {\begin{tabu}{c}
+            $\Pr[L]$ \\     \tabucline{-}
+            $0.2$ \\
+        \end{tabu}};
+
+        \node [net cpt] at ($(kaufen.center)-(0,3.5em)$)
+        {\begin{tabu}{c|c}
+            R & $\Pr[K]$ \\     \tabucline{-}
+            F & $0.5$ \\
+            T & $0.25$ \\
+        \end{tabu}};
+
+        \node [net cpt] at ($(sport.center)-(2em,3.5em)$)
+        {\begin{tabu}{c|c}
+            R & $\Pr[S]$ \\     \tabucline{-}
+            F & $0.4$ \\
+            T & $0.2$ \\
+        \end{tabu}};
+
+        \node [net cpt] at ($(gewissen.center)+(7em,1.1em)$)
+        {\begin{tabu}{cc|c}
+            S & L & $\Pr[G]$ \\     \tabucline{-}
+            F & F & $0.8$ \\
+            F & T & $0.25$ \\
+            T & F & $0.5$ \\
+            T & T & $0.1$ \\
+        \end{tabu}};
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Ein Bayesnetz zur erweiterten Nachmittagsplanung. Jede Zufallsvariable wird durch einen Knoten repräsentiert, Kanten beschreiben direkte Abhängigkeiten. Es sind sowohl die Topologie des Netzes, als auch die bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen abgebildet.}
+    \label{fig:rain_net}
+\end{figure}
+
+Abbildung \ref{fig:rain_net} zeigt ein Bayesnetz, das die erweiterte Nachmittagsplanung modelliert. Ob der Student am Abend ein schlechtes Gewissen hat ist allein davon abhängig, ob er Sport gemacht hat und gelernt hat. Zwar beeinflusst der Regen das schlechte Gewissen, jedoch nur indirekt, da er die Wahrscheinlichkeit für sportliche Aktivitäten verringert. Sport und Lernen haben keine Verbindung, da die Entscheidung für beide Tätigkeiten unabhängig voneinander getroffen wird.
+
+Die bedingten Verteilungen sind in Form von Tabellen dargestellt. Dabei wird jeder möglichen Kombination von Zuständen der Elternknoten eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen. Im Gegensatz zur kompletten gemeinsamen Verteilung werden hier nur lokale Zusammenhänge repräsentiert, die im Allgemeinen einfacher und intuitiver zu bestimmen sind. Im gegebenen Netz sind alle Variablen binär, daher wird jeweils nur die Wahrscheinlichkeit $p$ für ein positives Ergebnis angegeben, da die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis $1-p$ betragen muss. So müssen im gegebenen Netz die Topologie und $10$ Werte gespeichert werden. Diese genügen, um alle $2^5 = 32$ Einträge der gemeinsamen Verteilung zu errechnen.
 
 \subsection{Semantik}
 \begin{figure}[h]