--- a/planarity/presentation.tex	Tue May 08 22:46:33 2012 +0200
+++ b/planarity/presentation.tex	Tue May 08 23:17:51 2012 +0200
@@ -328,6 +328,9 @@
 \end{frame}
 
 \subsection{Kreisbasiert}
+\begin{frame}[plain]
+	\begin{center} \LARGE Kreisbasierte Algorithmen \end{center} 	
+\end{frame}
 \begin{frame}
 	\frametitle{Idee}
 	\begin{itemize}
@@ -518,15 +521,22 @@
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+	\frametitle{Beispiel}
+	Dummy.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 	\frametitle{Verschachtelung}
 	
 	\begin{block}{Beobachtung}
-	Baumkante $e_1$ außerhalb von Baumkante $e_2$ wenn
-	\vspace{1.5em}
+	Die Baumkante $e_1$ muss außerhalb von Baumkante sein $e_2$ wenn
 	\begin{itemize}
 		\item $lowpt(e_1) < lowpt(e_2)$
+	\end{itemize}
+	oder
+	\begin{itemize}
 		\item $lowpt(e_1) = lowpt(e_2)$ und $e_2$ eine Sehne besitzt
-	\end{itemize}	
+	\end{itemize}
 	\end{block}
 	\begin{center}
 	\begin{figure}
@@ -557,7 +567,7 @@
 	\frametitle{Verschachtelung}
 	
 	\begin{definition}
-		Seien $e_1^L,\ldots,e_l^L$ die linken ausgehenden Baumkanten und $e_1^R,\ldots,e_r^R$ die rechten ausgehenden Baumkanten eines Knotens $v$ und $u$ sein Elternknoten. Dann ist die \alert{LR-Ordnung} im Uhrzeigersinn
+		Seien \alert{$e_1^L,\ldots,e_l^L$} die linken ausgehenden Baumkanten und \alert{$e_1^R,\ldots,e_r^R$} die rechten ausgehenden Baumkanten eines Knotens $v$ und $u$ sein Elternknoten. Dann ist die \alert{LR-Ordnung} im Uhrzeigersinn
 		\begin{align*}
 			&(u,v),\\
 			&L(e_l^L),e_l^L,R(e_l^L),\ldots,R(e_1^L),\\
@@ -630,17 +640,40 @@
 	\end{columns}
 \end{frame}
 
-\subsection{Knotenbasiert}
 \begin{frame}
-	Dummy.
+	\frametitle{Algorithmus}
+	
+	\begin{itemize}
+		\item Testen auf Planarität entspricht Testen auf \alert{LR-Zerlegung}	
+		\item \alert{LR-Ordnung} stellt Randbedingungen
+		\vspace{2em}
+		\item Können alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden?
+	\end{itemize}
 \end{frame}
-\subsubsection{Idee}
+
 \begin{frame}
-	Dummy.
+	\frametitle{Algorithmus}
+	\begin{block}{Korollar}
+		Seien $b_1 = (u_1, v_1)$ und $b_2 = (u_2, v_2)$ \alert{zwei Rückwärtskanten} mit überlappenden Zyklen und sei $(u, v)$, $(v, w_1)$, $(v, w_2)$ ihre Gabelung. Dann gilt:
+		\begin{itemize}
+			\item $b_1$ und $b_2$ gehören zu \alert{verschiedenen} Klassen wenn $lowpt(w_2) < v_1$ und $lowpt(w_1) < v_2$
+			\item $b_1$ und $b_2$ gehören zur \alert{selben} Klasse wenn es eine Kante $e' = (x, y)$ gibt, sodass $x \in C(b_1) \cap C(b_2)$ und $y \not\in C(b_1) \cap C(b_2)$ und  $lowpt(y) < min\{v_1, v_2\}$
+		\end{itemize}
+	\end{block}
 \end{frame}
-\subsubsection{Boyer-Myrvold}
+
+\subsection{Knotenbasiert}
+\begin{frame}[plain]
+	\begin{center} \LARGE Knotenbasierte Algorithmen \end{center} 	
+\end{frame}
+
 \begin{frame}
-	Dummy.
+	\frametitle{Idee}
+	
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{Boyer Myrvold}
 \end{frame}
 
 \section{Q\&A}