--- a/planarity/presentation.tex	Sun May 20 21:06:50 2012 +0200
+++ b/planarity/presentation.tex	Sun May 20 21:57:51 2012 +0200
@@ -390,6 +390,20 @@
 \begin{frame}
 	\frametitle{LR-Partition}
 	
+	\begin{itemize}
+		\item Jede Rückwärtskante erzeugt einen \alert{Zyklus}
+		\item LR-Partition teilt Zyklen in solche im und gegen den Uhrzeigersinn
+		\item Gleiche Orientierung bei \alert{Verschachtelung}
+		
+		\vspace{2em}		
+		
+		\item In jedem planaren Graphen lassen sich Kreise so anordnen
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{LR-Partition}
+	
 	\begin{definition}
 		Sei $G = (V, T \uplus B)$ ein \alert{DFS-orientierter} Graph. Eine Partition $B = L \uplus R$ seiner Rückwärtskanten heißt \alert{Links-Rechts-Partition} wenn für jeden Knoten mit ausgehenden Kanten $e_1$, $e_2$ gilt:
 		\begin{itemize}
@@ -397,6 +411,29 @@
 			\item Alle Rückwärtskanten von $e_2$ mit ihrem Ende über $lowpt(e_1)$ gehören zur anderen Klasse.
 		\end{itemize}
 	\end{definition}
+	
+	\begin{center}
+	\begin{figure}
+	\begin{tikzpicture}[auto, scale=0.5]
+	\useasboundingbox (-4, 2) rectangle (4, 9);	
+	
+	\node[small vertex] (u) at (0,3) {};
+	\node[small vertex] (v) at (0,6) {$v$};
+	\node[small vertex] (w) at (-2,8) {};	
+	\node[small vertex] (x) at (2,8) {};
+	
+	\path[edge] (u) -- (v);
+	\path[edge, ->] (v) -- (w) node[midway, below] {$e_1$};
+	\path[edge, ->] (v) -- (x) node[midway, below] {$e_2$};	
+	\path[edge] (0,2) -- (u);
+	
+	\draw[left edge] (w) .. controls (-2, 5) .. (u);
+	\draw[right edge] (x) .. controls (2, 5) .. (u);
+	\draw[back edge] (w) .. controls (-3, 5) .. (0,2);
+	\draw[back edge] (x) .. controls (3, 5) .. (0,2);	
+	\end{tikzpicture}
+	\end{figure}		
+	\end{center}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
@@ -409,12 +446,10 @@
 	\vspace{2em}	
 		
 	\begin{itemize}
-		\item Jede Rückwärtskante erzeugt einen \alert{Zyklus}
-		\item LR-Partition teilt Zyklen in solche im und gegen den Uhrzeigersinn
-		
+		\item Planare Zeichnung $\rightarrow$ LR-Zerlegung intuitiv
 		\vspace{1em}
-		
-		\item Planare Zeichnung $\rightarrow$ LR-Zerlegung ist einfach
+		\item Andere Richtung: Konstruktiv
+		\item Richtige Verschachtelung von Kanten am Knoten
 	\end{itemize}
 \end{frame}
 
@@ -437,16 +472,16 @@
 	\useasboundingbox (-2, 0.5) rectangle (7, 5);	
 	
     \draw[edge] (0,1) -- (0,3);
-    \draw[edge] (-1.5,4) -- (0,3);
-    \draw[edge] (1.5,4) -- (0,3);
+    \draw[edge] (-1.5,4) -- (0,3) node[midway, above] {$e_1$};
+    \draw[edge] (1.5,4) -- (0,3) node[midway, above] {$e_2$};
     
     \draw[back edge, rounded corners] (-1.5,4) .. controls (4,6) and (1,1) .. (0,1);
     \draw[back edge] (1.5,4) .. controls (0.5,2) .. (0,2);    
 
 
     \draw[edge] (4.5,1) -- (4.5,3);
-    \draw[edge] (3,4) -- (4.5,3);
-    \draw[edge] (6,4) -- (4.5,3);
+    \draw[edge] (3,4) -- (4.5,3) node[midway, above] {$e_1$};
+    \draw[edge] (6,4) -- (4.5,3) node[midway, above] {$e_2$};
     
     \draw[back edge, rounded corners] (3,4) .. controls (8.5,6) and (5.5,1) .. (4.5,1);
     \draw[back edge] (6,4) .. controls (5,2) .. (4.5,2);   
@@ -466,19 +501,14 @@
 			&L(e_l^L),e_l^L,R(e_l^L),\ldots,R(e_1^L),\\
 			&L(e_1^R),\ldots,L(e_r^R),e_r^R,R(e_r^R)
 		\end{align*}
+		Dabei ist \alert{$e_1$} außerhalb von \alert{$e_2$} usw.
 	\end{definition}
 
 	\alert{$L(e)$} bezeichnet die linken eingehenden Rückwärtskanten deren Kreise sich $e$ teilen.
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-	\frametitle{Verschachtelung}	
-	\begin{block}{Lemma}
-		Eine \alert{LR-Ordnung} stellt eine Planarisierung einer \alert{LR-Zerlegung} dar.
-	\end{block}
-		
-	\vspace{2em}	
-		
+	\frametitle{Verschachtelung}		
 	\begin{columns}[T]
 		\begin{column}{.5\textwidth}
 	\begin{figure}
@@ -534,6 +564,19 @@
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+	\frametitle{Planarisierung}
+	
+	\begin{block}{Lemma}
+		Eine \alert{LR-Ordnung} stellt eine Planarisierung einer \alert{LR-Zerlegung} dar.
+	\end{block}
+	\vspace{2em}
+	
+	\begin{itemize}
+		\item Beweis durch Widerspruch. <DO WORK HERE>
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 	\frametitle{Algorithmus}
 	
 	\begin{itemize}
@@ -645,11 +688,11 @@
 \begin{tikzpicture}[auto, scale=1.3]
 	\useasboundingbox (-4,1) rectangle (4,6);
 
-    \foreach \pos/\name in {{(0,1)/a},{(0,2)/b},{(1,3)/c},{(0.75,4)/d},{(-0.5,4.5)/e},
-                            {(-1.5,3.5)/f}, {(1.25,5.25)/g},
-                            {(0,5.5)/h}, {(2.5,6)/i}, {(4,5)/j},{(2.5,4.5)/k},
-                            {(-2,6)/l}, {(-2.5,5)/m}, {(-4,5)/n}}
-        \node<1>[small vertex] (\name) at \pos {$\name$};
+    \foreach \pos/\name/\ctn in {{(0,1)/a/1},{(0,2)/b/2},{(1,3)/c/3},{(0.75,4)/d/4},{(-0.5,4.5)/e/5},
+                            {(-1.5,3.5)/f/6}, {(1.25,5.25)/g/7},
+                            {(0,5.5)/h/8}, {(2.5,6)/i/9}, {(4,5)/j/10},{(2.5,4.5)/k/11},
+                            {(-2,6)/l/12}, {(-2.5,5)/m/13}, {(-4,5)/n/14}}
+        \node<1>[vertex, minimum size=15pt] (\name) at \pos {$\ctn$};
         
     \foreach \source/ \dest in {a/b, b/c, c/d, d/e, e/f, e/g,
                                 e/h, h/i, i/j, j/k,
@@ -662,11 +705,11 @@
     \foreach \source/ \dest in {k/c, k/i, j/a, g/d, n/l}
         \path<1>[right edge] (\source) -- (\dest); 
         
-    \foreach \pos/\name in {{(0,1)/a},{(0,2)/b},{(1,3)/c},{(0.75,4)/d},{(-0.5,4.5)/e},
-                            {(-1.5,3.5)/f}, {(1.25,5.25)/g},
-                            {(0,5.5)/h}, {(2.5,6)/i}, {(4,5)/j},{(2.5,4.5)/k},
-                            {(-2,6)/l}, {(-2.5,5)/m}, {(-4,5)/n}}
-        \node<2->[small vertex, draw opacity=0.2] (\name) at \pos {$\name$};
+    \foreach \pos/\name/\ctn in {{(0,1)/a/1},{(0,2)/b/2},{(1,3)/c/3},{(0.75,4)/d/4},{(-0.5,4.5)/e/5},
+                            {(-1.5,3.5)/f/6}, {(1.25,5.25)/g/7},
+                            {(0,5.5)/h/8}, {(2.5,6)/i/9}, {(4,5)/j/10},{(2.5,4.5)/k/11},
+                            {(-2,6)/l/12}, {(-2.5,5)/m/13}, {(-4,5)/n/14}}
+        \node<2->[vertex, minimum size=15pt, draw opacity=0.2] (\name) at \pos {$\ctn$};
         
     \foreach \source/ \dest in {a/b, b/c, c/d, d/e, e/f, e/g,
                                 e/h, h/i, i/j, j/k,